等差数列求和公式
等差数列求和公式
1、等差数列基本公式：末项=首项+(项数-1)__公差项数=(末项-首项)÷公差+1首项=末项-(项数-1)__公差和=(首项+末项)__项数÷2末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。
2、Sn=na(n+1)/2n为奇数
sn=n/2(An/2+An/2+1)n为偶数
3、等差数列如果有奇数项，那么和就等于中间一项乘以项数，如果有偶数项，和就等于中间两项和乘以项数的一半，这就是中项求和。
4、公差为d的等差数列{an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。将求和公式代入即可。当n为偶数时，等差中项为中间两项，这两项的和等于首尾两项和，也等于二倍的总和除以项数n。
等差数列口诀
等差数列有特点，相邻两数差不变。
欲求公差位值减，除以位差才算完。
求和首尾和一半，乘以位数再运算。
混合数列求和难，错位相消巧转换;
高斯算法补长短，单独运算和相连。
特别说明：
相邻两数之间的差为公差
公差=(末位数-首位数)/(位数-1)，且“位前”就是“位数-1”
和=“首位+末尾”Х位数/2
“位值”指等差数列位数上的值。“位值减”等差数列位数上的值相减;
位差指等差数列的位数相减，也就是等差数列数值的序号
等差数列求和公式有哪几种
公式法
an=a1+(n-1)d
前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2
若公差d=1时：Sn=(a1+an)n/2
若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq
若m+n=2p则：am+an=2ap
以上n均为正整数
倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+...... +an
Sn =an+ an-1+an-2...... +a1
上下相加得Sn=(a1+an)n/2
分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例如：an=2n+n-1，可看做是2n与n-1的和
Sn=a1+a2+...+an
=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1
=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)
=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2
=2n+1+n(n-1)/2-2
通项化归法
先将通项公式进行化简，再进行求和。
如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。
并项求和法
(常采用先试探后求和的方法)
例：1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n
方法一：(并项)
求出奇数项和偶数项的和，再相减。
方法二：
(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]
方法三：
构造新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。
an=n(-1)^(n+1)
等差数列推论
(1)从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
(2)从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。
(3)若m，n，p，q∈N__，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)__a(n)，S(2n+1)=(2n+1)__a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)__k-S(n-1)__k…成等差数列，等等。若m+n=2p，则a(m)+a(n)=2__a(p)。
证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)__m+b(0)+b(1)__n=2__b(0)+b(1)__(m+n);p(p)+p(q)=b(0)+b(1)__p+b(0)+b(1)__q=2__b(0)+b(1)__(p+q);因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p。
(4)其他推论：
①和=(首项+末项)×项数÷2;
②项数=(末项-首项)÷公差+1;
③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×(项数-1);
④末项=2x和÷项数-首项;
⑤末项=首项+(项数-1)×公差;
⑥2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。
等差数列求和解题技巧
一.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的`和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2
解：Sn=a1+a2+a3+...+an①
倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②
①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1
∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2
二.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
三.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
四.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
五.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。
六.用分组求和法求数列的前n项和
分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
七.用构造法求数列的前n项和
构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。